相似三角形

◆ 簡介：三角分別相等，三邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形(similar triangles)。相似三角形是幾何中重要的證明模型之一，是全等三角形的推廣。全等三角形可以被理解為相似比為1的相似三角形。相似三角形其實(shí)是一套定理的集合，它主要描述了在相似三角形是幾何中兩個(gè)三角形中，邊、角的關(guān)系。

◆ 性質(zhì)：

1. 相似三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例。

2. 相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比。

3. 相似三角形周長的比等于相似比。

4. 相似三角形面積的比等于相似比的平方。

由 4 可得：相似比等于面積比的算術(shù)平方根。

5. 相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方

6. 若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中項(xiàng)

7. a/b=c/d等同于ad=bc.

8. 不必是在同一平面內(nèi)的三角形里。

◆ 判定：

類比全等三角形的判定定理，可以得出下列結(jié)論：

定理兩角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。

定理兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。

定理三邊成比例的兩個(gè)三角形相似。

定理一條直角邊與斜邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似。

根據(jù)以上判定定理，可以推出下列結(jié)論：

推論三邊對應(yīng)平行的兩個(gè)三角形相似。

推論一個(gè)三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。

◆ 推論：

推論一：腰和底對應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。

推論二：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。

推論三：如果一個(gè)三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。

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