►三角形中常見輔助線的添加

1. 與角平分線有關(guān)的

(1) 可向兩邊作垂線。(2)可作平行線，構(gòu)造等腰三角形

(3)在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形

2. 與線段長度相關(guān)的

(1) 截長：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí)，經(jīng)常在較長的線段上截取一段，使得它和其中的一條相等，再利用全等或相似證明余下的等于另一條線段即可

(2) 補(bǔ)短：證明某兩條線段的和或差等于第三條線段時(shí)，也可以在較短的線段上延長一段，使得延長的部分等于另外一條較短的線段，再利用全等或相似證明延長后的線段等于那一條長線段即可

(3)倍長中線：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，方法是將中線延長一倍，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。

(4)遇到中點(diǎn)，考慮中位線或等腰等邊中的三線合一。

3. 與等腰等邊三角形相關(guān)的

(1)考慮三線合一

(2)旋轉(zhuǎn)一定的度數(shù)，構(gòu)造全都三角形，等腰一般旋轉(zhuǎn)頂角的度數(shù)，等邊旋轉(zhuǎn)60 °

►四邊形中常見輔助線的添加

特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時(shí)往往需 要添加輔助線。下面介紹一些輔助線的添加方法。

1. 和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形。

(1) 利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形

(2)利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形

(3)利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形

2. 與矩形有輔助線作法

(1)計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題

(2)證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.

3. 和菱形有關(guān)的輔助線的作法

和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.

(1)作菱形的高

(2)連結(jié)菱形的對角線

4. 與正方形有關(guān)輔助線的作法

正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正 方形的問題有時(shí)需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線

5. 與梯形有關(guān)的輔助線的作法

和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：

(1)作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形

(2)作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形

(3)作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形

(4)延長兩腰構(gòu)成三角形

(5)作兩腰的平行線等

►圓中常見輔助線的添加

1. 遇到弦時(shí)(解決有關(guān)弦的問題時(shí))

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑(或直徑)或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。 作用：

(1) 利用垂徑定理 (2)利用圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系 (3)利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量

2. 遇到有直徑時(shí)，常常添加(畫)直徑所對的圓周角

作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形

3. 遇到90度的圓周角時(shí) ，常常連結(jié)兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)

作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑

4. 遇到弦時(shí)，常常連結(jié)圓心和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)成等腰三角形，還可連結(jié)圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)

作用：(1)可得等腰三角形

(2)據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角

5. 遇到有切線時(shí)，常常添加過切點(diǎn)的半徑(連結(jié)圓心和切點(diǎn))作用：利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形常常添加連結(jié)圓上一點(diǎn)和切點(diǎn)

作用：可構(gòu)成弦切角，從而利用弦切角定理。

6. 遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)(1) 若直線和圓的公共點(diǎn)還未確定，則常過圓心作直線的垂線段。

作用：若OA=r，則l為切線

(2) 若直線過圓上的某一點(diǎn)，則連結(jié)這點(diǎn)和圓心(即作半徑) 作用：只需證OA⊥l，則l為切線

(3) 有遇到圓上或圓外一點(diǎn)作圓的切線

7. 遇到兩相交切線時(shí)(切線長)

常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn) 作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到

(1)角、線段的等量關(guān)系 (2) 垂直關(guān)系 (3) 全等、相似三角形

8. 遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí)

連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段 作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得

(1) 內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線

(2)內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等

9. 遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)

作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等

10. 遇到兩圓外離時(shí)(解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問題)

常常作出過切點(diǎn)的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線 作用：(1)利用切線的性質(zhì); (2)利用解直角三角形的有關(guān)知識

11. 遇到兩圓相交時(shí) 常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點(diǎn)和圓心等

作用：(1) 利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識 (2) 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) (3)利用兩圓公共的圓周的性質(zhì) (4) 垂徑定理

12.遇到兩圓相切時(shí)

常常作連心線、公切線 作用：(1) 利用連心線性質(zhì)(2)切線性質(zhì)等

13. 遇到三個(gè)圓兩兩外切時(shí)

(1)常常作每兩個(gè)圓的連心線 (2)作用：可利用連心線性質(zhì)14. 遇到四邊形對角互補(bǔ)或兩個(gè)三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時(shí) 常常添加輔助圓

作用：以便利用圓的性質(zhì)

輔助線記憶歌訣人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添?把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對角線，補(bǔ)成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。半徑與弦長計(jì)算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦�；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)�；�本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)�？偨Y(jié)方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。幾何證題難不難，關(guān)鍵常在輔助線;知中點(diǎn)、作中線，中線處長加倍看;底角倍半角分線，有時(shí)也作處長線;線段和差及倍分，延長截取證全等;公共角、公共邊，隱含條件須挖掘;全等圖形多變換，旋轉(zhuǎn)平移加折疊;中位線、常相連，出現(xiàn)平行就好辦;四邊形、對角線，比例相似平行線;梯形問題好解決，平移腰、作高線;兩腰處長義一點(diǎn)，亦可平移對角線;正余弦、正余切，有了直角就方便;特殊角、特殊邊，作出垂線就解決;實(shí)際問題莫要慌，數(shù)學(xué)建模幫你忙;圓中問題也不難，下面我們慢慢談;弦心距、要垂弦，遇到直徑周角連;切點(diǎn)圓心緊相連，切線常把半徑添;兩圓相切公共線，兩圓相交公共弦;切割線，連結(jié)弦，兩圓三圓連心線;基本圖形要熟練，復(fù)雜圖形多分解。

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