分式約分的主要步驟

(1)分子分母分解因式

(2)約去分子分母所有公因式

(3)化簡為最簡的分式或整式

就像籃球投進籃筐，需要你遵循最省力、最不易錯的方式。你并非天生就能掌握這種感覺，需要你反復調(diào)整動作。

做數(shù)學題也一樣，要通過訓練去培養(yǎng)不易錯的解題思路，最大限度節(jié)省腦力。否則會遇到亂用腦力，導致腦力耗盡，最終無法在有限時間內(nèi)答完或做對題目。

要為一次性做對不斷積累自己的經(jīng)驗，共勉。

2.基本技巧

2.1.互有比例，統(tǒng)一未知數(shù)

例題：已知a2=b3=c4，求2a2−3bc+b2a2−2ab−c2

多個未知數(shù)，任意兩個都存在比例關(guān)系時，統(tǒng)一為一個未知數(shù)。

解：設a2=b3=c4=x，則a=2x,b=3x,c=4x

2a2−3bc+b2a2−2ab−c2=2×4x2−3×12x2+9x24x2−2×6x2−16x2=−19x2−24x2=1924

2.2.先化簡、再代入

例題：已知x=a+1a−1，則x+1x等于?

下意識的，先對要求的式子進行化簡：x+1x=1+1x

此刻，就只需要帶入一個1x，易得：1+1x=1+a−1a+1=2aa+1

2.3.熟記公式，最后帶入數(shù)值

例題：當x=2022,y=1949時，代數(shù)式x4−y4x2+2xy+y2⋅x+yx2+y2的值為?

乍一看，右邊的代數(shù)式很唬人，但是我們還是本著先化簡的原則。先用平方差公式轉(zhuǎn)化x4−y4：

原式=(x2+y2)(x2−y2)x2+2xy+y2⋅x+yx2+y2，約分得

原式=x2−y2x2+2xy+y2⋅x+y1再用平方差公式轉(zhuǎn)化x2−y2，采用完全平方公式轉(zhuǎn)化x2+2xy+y2

原式=(x+y)(x−y)(x+y)2⋅(x+y)=x−y

然后再帶入數(shù)值，得原式：x−y=2022−1949=73

這里要提到嚴伯鈞在老師那里學到的避免馬虎的方法：代數(shù)的部分先完成，最后再帶入數(shù)字。既可以讓思維連貫，又可以在大題中多得分。

2.4.向已知條件湊攏

例題：已知a+b+c=0，則a(1b+1c)+b(1a+1c)+c(1a+1b)的值是?

看右邊這個代數(shù)式如此復雜，肯定是要先通分找找思路的，故通分，得：

原式=a2b+a2c+ab2+b2c+ac2+bc2abc

由于我們只有已知的a+b+c=0，解題都是由已知推未知，我們先向著這個式子靠攏，起碼要湊這個式子。

由于問題是求這個式子的值，不是化簡這個式子�？隙ǚ肿涌梢宰兂蒼⋅abc的格式，故上面要湊這個格式。

由這兩個條件去構(gòu)造，確實需要費點心思的。幾次嘗試后就可以得出：

原式=a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2abc

原式=ab(a+b)+ac(a+c)+bc(b+c)abc

原式=ab(a+b+c−c)+ac(a+b+c−b)+bc(a+b+c−a)abc

原式=ab(a+b+c)−abc+ac(a+b+c)−abc+bc(a+b+c)−abcabc

因為a+b+c=0，所以上式可以化簡成：

−3abcabc=−3

2.5.通分時，把剩余部分看做整體

例題：化簡a2a−1−a−1

我們第一反應就是通分，但是把什么看做整體也很重要，我們要通分就一趟搞定，別做零碎的計算。

這里，我們要把右邊的式子看做整體：

原式 =a2a−1−(a+1)

原式 =a2a−1−(a+1)(a−1)a−1

原式 =a2−a2+1a−1

原式 =1a−1

此法可以減少通分失誤

2.6. 直接帶入困難，發(fā)掘已知條件

例題：已知x2−5x+1=0求x4+1x4的值

首先我們看右邊的式子不算復雜，是不是化簡帶入就可以。然后我們?nèi)タ匆幌伦髠?cè)的式子解x是個什么值。發(fā)現(xiàn)x的根為：5±212，我們初步否定這種計算量的大的方案，開始思考右邊的代數(shù)式有何特征。

我們發(fā)現(xiàn)：x4+1x4=(x2+1x2)2−2

又一想，其實：x2+1x2=(x+1x)2−2

這樣就忍不住去想，若能直接獲得一個x+1x就省事了，觀察一直的式子，可以發(fā)現(xiàn)，x2−5x+1=0除以一個x就可以得到：

x+1x=5

按照已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，最終求出：代數(shù)式的值為 527.

本題中，我們需要挖掘已知條件，讓兩個式子產(chǎn)生聯(lián)系。挖掘代數(shù)式的核心，然后再視一個代數(shù)式為整體去思考如何解題。其實我們潛移默化中使用了換元法，好似令t=x+1x。

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