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2020年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法:談梯形輔助線的作法

來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)資源 作者:中考網(wǎng)整理 2019-08-31 18:02:53

中考真題

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  梯形是一種特殊的四邊形,它是平行四邊形和三角形的“綜合”�?梢酝ㄟ^(guò)適當(dāng)?shù)靥砑虞o助線,構(gòu)造三角形、平行四邊形,再運(yùn)用三角形、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)去解決梯形問(wèn)題。下面就梯形中作輔助線的常用方法作一介紹,供參考。
 
  一、 平移一腰
 
  過(guò)梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線,構(gòu)造一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形,能使分散的條件集中起來(lái),為解決梯形問(wèn)題創(chuàng)造條件。
 
  例1  如圖1,等腰梯形ABCD兩底之差等于一腰的長(zhǎng),那么這個(gè)梯形較小的一個(gè)內(nèi)角是(    )
 
  A、90°                   B、60°                    C、45°                    D、30°
 
 2012å1′æ•°å-|å-|ä1 æ–1æ3•:è°ˆæ¢ˉå½¢辅助ço¿çš„作æ3•
 
  解析:由條件“兩底之差等于一腰的長(zhǎng)”,可平移一腰。如圖2所示,平移DC到AE,AE交BC于E�?芍狟E=BC-AD=AB。又AB=DC=AE,故AB=BE=AE,△ABE是等邊三角形。所以∠B=60°。故選B。
 
  2012å1′æ•°å-|å-|ä1 æ–1æ3•:è°ˆæ¢ˉå½¢辅助ço¿çš„作æ3•
 
  二、平移兩腰
 
  平移兩腰,使兩腰交于短底上一點(diǎn),把梯形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形,進(jìn)而解決問(wèn)題。
 
  例2  如圖3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC。E、F分別為AD、BC的中點(diǎn),且EF⊥BC。求證:∠B=∠C。
 
  2012å1′æ•°å-|å-|ä1 æ–1æ3•:è°ˆæ¢ˉå½¢辅助ço¿çš„作æ3•
 
  解析:要證∠B=∠C,可把它們移到同一個(gè)三角形中,利用等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)加以證明。
 
  過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB,EG∥DC,分別交BC于H、G(如圖4)。
 
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  ∵AD∥BC,∴四邊形ABHE和四邊形EGCD都是平行四邊形(兩組對(duì)邊平行)。
 
  ∴AE=BH,ED=GC。
 
  又E、F分別為AD、BC的中點(diǎn),所以AE=ED,BF=FC。
 
  ∴BH=GC,BF-BH=FC-GC,從而HF=FG。
 
  又EF⊥BC,所以EH=EG,故∠EHF=∠EGF,得∠B=∠C。
 
  評(píng)析:題目中若有連接兩底上點(diǎn)的線段,通常要平移兩腰。
 
  三、平移對(duì)角線
 
  過(guò)梯形底邊的一個(gè)端點(diǎn)作某一條對(duì)角線的平行線,可以構(gòu)造出一個(gè)三角形和一個(gè)平行四邊形,引出解題思路。
 
  例3  在梯形ABCD中,AD∥BC,對(duì)角線AC⊥BC,且AC=5cm,BD=12cm,則梯形中位線的長(zhǎng)等于(    )
 
  A、7.5cm                 B、7cm               C、6.5cm            D、6cm
 
  解析:由對(duì)角線垂直,可平移一條對(duì)角線(比如AC),構(gòu)造出Rt△BDE和ACED(如圖5)。由勾股定理可知BE=13cm,從而得到梯形中位線的長(zhǎng)等于BE的一半,即為6.5cm。故選C。
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  四、延長(zhǎng)兩腰
 
  延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn),可構(gòu)造兩個(gè)三角形,再利用這兩個(gè)三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題。
 
  例4  在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD+BC=30,BD平分∠
 
  ABC。求梯形的周長(zhǎng)。
 
  解析:延長(zhǎng)兩腰相交于點(diǎn)E,如圖6,因∠ABC=∠BCD=60°,故∠E=60°�!鰾CE為等邊三角形。又BD平分∠ABC,所以BD垂直平分CE。
 
  所以CD=。又AD∥BC,故△ADE為等邊三角形。AD=ED=CD。由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。
 
  ∴梯形的周長(zhǎng)為30+AB+CD=30+2CD=50。
 
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  五、作梯形的高
 
  過(guò)梯形短底的兩個(gè)端點(diǎn)作梯形的高,把梯形分成兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形,可使解題思路明朗化。
 
  例5  已知等腰梯形的一個(gè)內(nèi)角為60°,它的上底是3cm,腰長(zhǎng)是4cm,則下底是  。
 
  解析:如圖7,梯形ABCD中,∠B=∠C=60°,AD=3cm,AB=DC=4cm,過(guò)點(diǎn)A、D分別作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分別為E、F。則有∠BAE=∠CDF=30°,BE=FC=AB=2cm,
 
  ∴BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7(cm),即為所求。
 
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  六、連接兩腰中點(diǎn)
 
  若題目中有一個(gè)或兩個(gè)腰的中點(diǎn),可嘗試連接梯形兩腰的中點(diǎn),得到梯形的中位線,利用中位線的性質(zhì)解題。
 
  例6  在梯形ABCD中,AB∥CD,點(diǎn)M為BC的中點(diǎn),DM平分∠ADC。求證AM平分∠DAB。
 
  解析:如圖8,取DA的中點(diǎn)N,連接MN,則MN∥CD,MN∥AB。所以∠NMD=∠MDC=∠MDN。故NM=ND=AN,∠NAM=∠NMA=∠MAB。故AM平分∠DAB。
 
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  練習(xí)
 
  1、等腰梯形兩底差的一半等于它的高,那么這個(gè)梯形的一個(gè)內(nèi)角是(    )。
 
  A、75°                   B、60°                    C、45°                    D、30°
 
  2、如圖9,已知梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90°,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)。求證:MN=(AB-CD)。
 
2012å1′æ•°å-|å-|ä1 æ–1æ3•:è°ˆæ¢ˉå½¢辅助ço¿çš„作æ3•
 
  2020年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法:談梯形輔助線的作法
 
  3、在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,AC=6,BD=8,求此梯形的高。
 
  4、如圖10,在梯形ABCD中,∠DCB=90°,AB∥DC,AB=25,BC=24。將該梯形折疊,點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合,BE為折痕。那么,AD的長(zhǎng)為        。
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  2020年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法:談梯形輔助線的作法
 
  5、例6變式練習(xí):條件不變,結(jié)論改變。求證:(1)AM⊥DM;(2)AB+CD=AD。
 
  提示:1、利用第五種作法。2、利用第二種作法,并利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。3、利用第三種作法,由勾股定理逆定理得出直角三角形,并利用面積公式(a、b為直角邊長(zhǎng),c為斜邊長(zhǎng),h是斜邊上的高)。4、先在Rt△BCD中求出DC,再自D作DF⊥AB于F。在Rt△ADF中求AD。
 
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