在中學(xué)教材中，關(guān)于三角形全等有以下判定公理：

　　(1)邊角邊公理 有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“SAS”)．

　　(2)角邊角公理 有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“ASA”)．

　　推論有兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“AAS”)．

　　(3)邊邊邊公理 有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“SSS”)．

　　關(guān)于直角三角形有：

　　(4)斜邊、直角邊公理 有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“HL”)．

　　利用全等三角形，我們可以得到有關(guān)角平分線(xiàn)、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)、等腰三角形的許多重要性質(zhì)，在本講中將直接利用這些性質(zhì)．

　　借助于全等三角形的知識(shí)，我們可以研究很多關(guān)于角和線(xiàn)段相等及不等問(wèn)題、關(guān)于直線(xiàn)平行與垂直問(wèn)題．

　　例1 如圖2-1所示．∠1=∠2，∠ABC=∠DCB．求證：AB=DC．

　　分析用全等三角形證明線(xiàn)段(或角)相等，最常用的方法是探究所求證的線(xiàn)段(或角)分別在一對(duì)可證的全等三角形之中．本題的AB，DC分別屬于兩對(duì)三角形△ABE和△CDE及△ABC和△DBC．經(jīng)分析可證明△ABE≌△CDE．

　　證由已知，∠1=∠2，

　　∠ABC=∠DCB，而

　　∠EBC=∠ABC-∠1，

　　∠ECB=∠DCB-∠2，

　　所以∠EBC=∠ECB．在

　　△ABC及△BCD中，

　　∠ABC=∠BCD，

　　∠EBC=∠ECB，BC=BC，

　　所以 △ABC≌△DCB(ASA)，

　　所以 AB=CD．

　　說(shuō)明 線(xiàn)段AB，CD也屬于兩個(gè)(事實(shí)上)全等的△ABE和△DCE，因此也可直接證明這兩個(gè)三角形全等．

　　例2 如圖2-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分別是腰AB及AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交底BC于G．求證：GD=GE．

　　分析從圖形看，GE，GD分別屬于兩個(gè)顯然不全等的三角形：△GEC和△GBD．此時(shí)就要利用這兩個(gè)三角形中已有的等量條件，結(jié)合已知添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形．方法不止一種，下面證法是其中之一．

　　證過(guò)E作EF∥AB且交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于F．在△GBD及△GEF中， ∠BGD=∠EGF(對(duì)頂角)， ①

　　∠B=∠F(兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等)． ②

　　又∠B=∠ACB=∠ECF=∠F，所以，△ECF是等腰三角形，從而EC=EF．又因?yàn)?/FONT>EC=BD，所以

BD=EF． ③

　　由①，②，③

△GBD≌△GEF(AAS)，

　　所以 GD=GE．

　　說(shuō)明 適當(dāng)添加輔助線(xiàn)、構(gòu)造全等三角形的方法可以不止一種，本題至少還有以下兩種方法：

　　(1)過(guò)D作DF∥AC，交BC于F．可用同樣方法證明△GFD≌△GCE(圖2-3)．

　　(2)過(guò)D作DF⊥BC于F；過(guò)E作EH⊥BC于BC延長(zhǎng)線(xiàn)于H，可證明△GFD≌△GEH(圖2-4)．

　　做完一道題后，再想一想還有沒(méi)有其他證明方法，比較一下哪種證法更好，這對(duì)于發(fā)展思考、鍛煉能力是大有好處的．

　　例3 如圖2-5所示．在等邊三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P點(diǎn)，BQ⊥AD于Q．求證：BP=2PQ．

　　分析首先看到BP，PQ在Rt△BPQ之中，只要證明∠BPQ=60°(或∠PBQ=30°)．然而，∠BPQ是△ABP的一個(gè)外角，所以∠BPQ=∠PAB+∠PBA．但∠A=∠PAB+∠PAC=60°，若能證明∠PBA=∠PAC，問(wèn)題即能解決，這兩個(gè)角分別在△ABE與△CAD中，可以證明這兩個(gè)三角形全等．

　　證在△ABE與△CAD中，

　　∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，AE=CD，

　　所以

△ABE≌△CAD(SAS)，

　　所以 ∠ABE=∠CAD．

　　由于∠BPQ是△ABP的外角，所以

　　∠BPQ=∠PAB+PBA=∠PAB+∠CAD=60°．

　　在Rt△BQP中，∠BPQ=60°，∠PBQ=30°，所以BP=2PQ(在Rt△BPQ中30°角的對(duì)邊等于斜邊的一半)．

　　說(shuō)明 發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造全等三角形是利用全等三角形證明題目的關(guān)鍵，為此，我們常從發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形中對(duì)應(yīng)元素相等入手，逐步發(fā)現(xiàn)或經(jīng)推理“湊齊”三角形全等的條件．如本題在分析到欲證∠ABP=∠CAD后，進(jìn)而把注意力集中到△ABE與△CAD中，這里，可適當(dāng)利用幾何直觀感覺(jué)，啟發(fā)我們尋找有希望全等的三角形，例如雖然△ABP與△APE都含欲證的角，但只需觀察即可知，這兩個(gè)三角形無(wú)望全等．

　　例4 如圖2-6所示．∠A=90°，AB=AC，M是AC邊的中點(diǎn)，AD⊥BM交BC于D，交BM于E．求證：

∠AMB=∠DMC．

　　分析1 從圖形觀察∠AME與∠DMC所在的兩個(gè)三角形△AME與△DMC顯然不全等，但是這兩個(gè)三角形中有其他相等元素：AM=MC．若能利用已知條件在現(xiàn)有的三角形中構(gòu)造出新的對(duì)應(yīng)相等的元素，形成全等三角形，這是理想不過(guò)的事．由于∠C=45°，∠A=90°，若作∠A的平分線(xiàn)AG，則在△AGM中，∠GAM=45°=∠C．結(jié)合求證中的∠AMB=∠DMC(這當(dāng)然不能作為已知，但在分析中可以“當(dāng)作已知”來(lái)考慮，以便尋找思路)，我們可以斷言△AGM“應(yīng)該”與△CDM全等！為此，只要在這兩個(gè)三角形中求得一組邊相等即可．圖形及條件啟發(fā)我們可考慮去證明△AGB≌△CDA．

　　證法1 作∠BAC的平分線(xiàn)AG，交BM于G．在△AGB與△CDA中，因?yàn)?/FONT>

AB=CA，∠BAG=∠ACD=45°，

　　∠ABG=90°-∠AMB， ①

　　∠MAD=90°-∠EAB． ②

　　由于，在Rt△MAB中，AE⊥BM，所以∠AMB=∠EAB．由①，②，∠ABG=∠MAD，所以

△AGB≌△ADC(ASA)，

　　于是 AG=CD．

　　在△AMG與△CMD中，還有

AM=MC，∠GAM=∠DCM=45°，

　　所以 △AMG≌△CMD，

　　從而 ∠AMB=∠DMC．

　　分析2 如圖2-7所示．注意到在Rt△ABM中，由AE⊥BM得到∠MAE=∠MBA，若延長(zhǎng)AE，過(guò)C作CF⊥AC交AE延長(zhǎng)線(xiàn)于F，可構(gòu)成Rt△ABM≌Rt△ACF，從而有∠AMB=∠F．設(shè)法證明∠DMC=∠F，則問(wèn)題獲解．

　　證法2 引輔助線(xiàn)如分析2所述．在Rt△ABM與Rt△CAF中，∠ABM=∠CAF，AB=AC，及

∠BAM=∠ACF=90°，

　　所以

Rt△ABM≌Rt△CAF(ASA)，

　　所以

　　∠AMB=∠F，AM=CF． ①

　　在△MCD與△FCD中，FC=AM=MC(因?yàn)?/FONT>M是AC中點(diǎn))．由于∠ACF=90°，∠ACB=45°，所以

∠FCD=∠MCD=45°，CD=CD，

　　所以 △FCD≌△MCD(SAS)，

　　所以 ∠F=∠DMC． ②

　　由①，② ∠AMB=∠DMC．

　　說(shuō)明 這兩個(gè)證法的思路較為復(fù)雜．添加輔助線(xiàn)的結(jié)果造出兩對(duì)全等三角形，第一對(duì)全等三角形產(chǎn)生一些對(duì)應(yīng)相等的元素，為第二對(duì)全等三角形做了鋪墊；第一對(duì)全等三角形將欲證的一個(gè)角“轉(zhuǎn)移”到第二對(duì)全等三角形中，從而最后使問(wèn)題獲解．對(duì)一些較復(fù)雜的問(wèn)題采用迂回的辦法，因勢(shì)利導(dǎo)地創(chuàng)造全等三角形，產(chǎn)生更多的相等條件，使欲證的角(或邊)轉(zhuǎn)移位置，走出“死角”，最終使問(wèn)題獲解．

　　例5 如圖2-8所示．正方形ABCD中，在邊CD上任取一點(diǎn)Q，連AQ，過(guò)D作DP⊥AQ，交AQ于R，交BC于P，正方形對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)為O，連OP，OQ．求證：OP⊥OQ．

　　分析欲證OP⊥OQ，即證明∠COP+∠COQ=90°．然而，∠COQ+∠QOD=90°，因此只需證明∠COP=∠DOQ即可．這歸結(jié)為證明△COP≌△DOQ，又歸結(jié)為證明CP=DQ，最后，再歸結(jié)為證明△ADQ≌△DCP的問(wèn)題．

　　證在正方形ABCD中，因?yàn)?/FONT>AQ⊥DP，所以，在Rt△ADQ與Rt△RDQ中有∠RDQ=∠QAD．所以，在Rt△ADQ與Rt△DCP中有

AD=DC，∠ADQ=∠DCP=90°，

∠QAD=∠PDC，

　　所以

△ADQ≌△DCP(ASA)，DQ=CP．

　　又在△DOQ與△COP中，

DO=CO，∠ODQ=∠OCP=45°，

　　所以

△DOQ≌△COP(SAS)，∠DOQ=∠COP．

　　從而

　　∠POQ=∠COP+∠COQ=∠DOQ+∠COQ

　　　　 =∠COD=90°，

　　即OP⊥OQ．

　　說(shuō)明 (1)利用特殊圖形的特殊性質(zhì)，�？砂l(fā)現(xiàn)有用的條件，如正方形對(duì)角線(xiàn)互相垂直，對(duì)角線(xiàn)與邊成45°角，及OA=OB=OC=OD等均在推證全等三角形中被用到．

　　(2)兩個(gè)三角形的全等與對(duì)應(yīng)元素相等，這兩者互為因果，這是利用全等三角形證明問(wèn)題的基本技巧．

　　例6 如圖2-9所示．已知正方形ABCD中，M為CD的中點(diǎn)，E為MC上一點(diǎn)，且∠BAE=2∠DAM．求證：AE=BC+CE．

　　分析證明一條線(xiàn)段等于兩條線(xiàn)段和的基本方法有兩種：

　　(1)通過(guò)添輔助線(xiàn)“構(gòu)造”一條線(xiàn)段使其為求證中的兩條線(xiàn)段之和(BC+CE)，再證所構(gòu)造的線(xiàn)段與求證中那一條線(xiàn)段相等．

　　(2)通過(guò)添輔助線(xiàn)先在求證中長(zhǎng)線(xiàn)段(AE)上截取與線(xiàn)段中的某一段(如BC)相等的線(xiàn)段，再證明截剩的部分與線(xiàn)段中的另一段(CE)相等．我們用(1)法來(lái)證明．

　　證延長(zhǎng)AB到F，使BF=CE，則由正方形性質(zhì)知

AF=AB+BF=BC+CE．

　　下面我們利用全等三角形來(lái)證明AE=AF．為此，連接EF交邊BC于G．由于對(duì)頂角∠BGF=∠CGE，所以

Rt△BGF≌Rt△CGE(AAS)，

　　從而

　　于是

Rt△ABG≌Rt△ADM(SAS)，

　　所以

　　過(guò)G引GH⊥AE于H．因?yàn)?/FONT>AG是∠EAF的平分線(xiàn)，所以GB=GH，從而Rt△GBF≌Rt△GHE(HL)，所以

∠F=∠HEG，

　　則 AF=AE(底角相等的三角形是等腰三角形)，

　　即 AE=BC+CE．

　　說(shuō)明 我們也可以按分析(2)的方法來(lái)證明結(jié)論，為此可先作∠BAE的平分線(xiàn)AG交邊BC于G，再作GH⊥AE于H，通過(guò)證明△ABG≌△AHG知AB=AH=BC．下面設(shè)法證明HE=CE即可，請(qǐng)同學(xué)們自證．　　